Sinais e Sistemas Lineares

BACKGROUND

B.1 Números Complexos 17
B.1-1 Nota Histórica 17
B.1-2 Álgebra de Números Complexos 20
B.2 Senoides 30
B.2-1 Adição de Senoides 31
B.2-2 Senoides em Termos de Exponenciais: A Fórmula de Euler 35
B.3 Rascunhando Sinais 35
B.3-1 Exponenciais Monotônicas 35
B.3-2 Senoides Variando Exponencialmente 36
B.4 Regra de Cramer 38
B.5 Expansão em Frações Parciais 39
B.5-1 Método de Eliminação de Frações 40
B.5-2 Método de Heaviside 41
B.5-3 Fatores Repetidos de Q(x) 44
B.5-4 Mistura dos Métodos de Heaviside e Eliminação de Frações 45
B.5-5 F(x) Imprópria com m = n 47
B.5-6 Frações Parciais Modificado 47
B.6 Vetores e Matrizes 48
B.6-1 Algumas Definições e Propriedades 49
B.6-2 Álgebra Matricial 50
B.6-3 Derivadas e Integrais de Matrizes 53
B.6-4 Equação Característica de uma Matriz: Teorema de Cayley-Hamilton 55
B.6-5 Determinação da Exponencial e Potenciação de uma Matriz 56
B.7 Miscelâneas 57
B.7-1 Regra L'Hôpital 57
B.7-2 Séries de Taylor e Maclaurin 58
B.7-3 Séries de Potência 58
B.7-4 Somatórios 58
B.7-5 Números Complexos 58
B.7-6 Identidades Trigonométricas 59
B.7-7 Integrais Indefinidas 59
B.7-8 Fórmulas Comuns de Derivação 60
B.7-9 Algumas Constantes Úteis 61
B.7-10 Solução de Equações Quadráticas e Cúbicas 61

Referências 62
MATLAB Seção B: Operações Elementares 62
Problemas 71

CAPÍTULO 1 SINAIS E SISTEMAS

1.1 Tamanho do Sinal 75
1.1-1 Energia do Sinal 76
1.1-2 Potência do Sinal 76
1.2 Algumas Operações Úteis com Sinais 81
1.2-1 Deslocamento Temporal 81
1.2-2 Escalamento Temporal 83
1.2-3 Reversão Temporal 85
1.2-4 Operações Combinadas 86
1.3 Classificação de Sinais 87
1.3-1 Sinais Contínuos e Discretos no Tempo 87
1.3-2 Sinais Analógicos e Digitais 88
1.3-3 Sinais Periódicos e Não Periódicos 88
1.3-4 Sinais de Energia e Potência 90
1.3-5 Sinais Determinísticos e Aleatórios 90
1.4 Alguns Modelos Úteis de Sinais 90
1.4-1 Função Degrau Unitário u(t) 90
1.4-2 A Função Impulso Unitário δ (t) 91
1.4-3 Função Exponencial est 96
1.5 Funções Pares e Ímpares 98
1.5-1 Algumas Propriedades de Funções Pares e Ímpares 98
1.5-2 Componentes Pares e Ímpares de um Sinal 99
1.6 Sistemas 101
1.7 Classificação de Sistemas 102
1.7-1 Sistemas Lineares e Não Lineares 102
1.7-2 Sistemas Invariantes e Variantes no Tempo 106
1.7-3 Sistemas Instantâneos e Dinâmicos 107
1.7-4 Sistemas Causal e Não Causal 108
1.7-5 Sistemas em Tempo Contínuo e em Tempo Discreto 110
1.7-6 Sistemas Analógicos e Digitais 111
1.7-7 Sistemas Inversíveis e Não Inversíveis 111
1.7-8 Sistemas Estáveis e Instáveis 111
1.8 Modelo de Sistema: Descrição Entrada-Saída 112
1.8-1 Sistemas Elétricos 112
1.8-2 Sistemas Mecânicos 115
1.8-3 Sistemas Eletromecânicos 118
1.9 Descrição Interna e Externa de um Sistema 119
1.10 Descrição Interna: Descrição em Espaço de Estado 121
1.11 Resumo 125

Referências 127
MATLAB Seção 1: Trabalhando com Funções 127
Problemas 133

CAPÍTULO 2 ANÁLISE DO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO

2.1 Introdução 145
2.2 Resposta do Sistema a Condições Internas: Resposta de Entrada Nula 146
2.2-1 Algumas Informações sobre o Comportamento de Entrada Nula de um Sistema 155
2.3 A Resposta h(t) ao Impulso Unitário 156
2.4 Resposta do Sistema à Entrada Externa: Resposta de Estado Nulo 160
2.4-1 A Integral de Convolução 162
2.4-2 Entendimento Gráfico da Operação de Convolução 169
2.4-3 Sistemas Interconectados 180
2.4-4 Uma Função muito Especial para Sistemas LCIT: a Exponencial de Duração Infinita est 182
2.4-5 Resposta Total 184
2.5 Solução Clássica de Equações Diferenciais 185
2.5-1 Resposta Forçada: Método de Coeficientes Indeterminados 185
2.6 Estabilidade do Sistema 193
2.6-1 Estabilidade Interna (Assintótica) 194
2.6-2 Relação entre Estabilidade BIBO e Assintótica 195
2.7 Visão Intuitiva sobre o Comportamento de Sistemas 198
2.7-1 Dependência do Comportamento do Sistema com os Modos Característicos 198
2.7-2 Tempo de Resposta de um Sistema: a Constante de Tempo do Sistema 200
2.7-3 A Constante de Tempo e Tempo de Subida de um Sistema 201
2.7-4 A Constante de Tempo e Filtragem 201
2.7-5 A Constante de Tempo e Dispersão (Espalhamento) do Pulso 203
2.7-6 A Constante de Tempo e Taxa de Transmissão de Informação 203
2.7-7 O Fenômeno da Ressonância 203
2.8 Apêndice 2.1: Determinação da Resposta ao Impulso 205
2.9 Resumo 206

Referências 208
MATLAB Seção 2: Arquivos .M 208
Problemas 214

CAPÍTULO 3 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO

3.1 Introdução 224
3.1-1 Tamanho de um Sinal em tempo discreto 225
3.2 Operações Úteis com Sinais 227
3.3 Alguns Modelos Úteis em Tempo Discreto 230
3.3-1 Função Impulso δ[n] Discreta no Tempo 231
3.3-2 Função Degrau Unitário Discreta no Tempo u[n] 231
3.3-3 Exponencial Discreta no Tempo γ n 232
3.3-4 Senoide Discreta no Tempo cos (n + θ) 233
3.3-5 Exponencial Complexa Discreta no Tempo ejn 236
3.4 Exemplos de Sistemas em Tempo Discreto 237
3.4-1 Classificação de Sistemas em tempo discreto 244
3.5 Equações de Sistemas em Tempo Discreto 246
3.5-1 Solução Recursiva (Interativa) da Equação Diferença 246
3.6 Resposta do Sistema a Condições Internas: Resposta de Entrada Nula 251
3.7 Resposta h[n] ao Impulso Unitário 256
3.8 Resposta do Sistema à Entrada Externa: a Resposta de Estado Nulo 259
3.8-1 Procedimento Gráfico para o Somatório de Convolução 266
3.8-2 Sistemas Interconectados 271
3.8-3 Uma Função Muito Especial para Sistemas LDIT: a Exponencial de Duração Infinita zn 273
3.8-4 Resposta Total 274
3.9 Solução Clássica de Equações Diferença Lineares 275
3.10 Estabilidade do Sistema: Critério de Estabilidade Externa (BIBO) 281
3.10-1 Estabilidade Interna (Assintótica) 282
3.10-2 Relação entre Estabilidade BIBO e Assintótica 282
3.11 Visão Intuitiva sobre Comportamento de Sistemas 286
3.12 Apêndice 3-1: Resposta ao Impulso para um Caso Especial 286
3.13 Resumo 287

MATLAB Seção 3: Sinais e Sistemas em Tempo Discreto 288
Problemas 293

CAPÍTULO 4 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO CONTÍNUO USANDO A TRANSFORMADADE LAPLACE

4.1 Transformada de Laplace 307
4.1-1 Determinando a Transformada Inversa 314
4.2 Algumas Propriedades da Transformada de Laplace 324
4.2-1 Deslocamento no Tempo 324
4.2-2 Deslocamento na Frequência 327
4.2-3 Propriedade de Diferenciação no Tempo† 328
4.2-4 Propriedade de Integração no Tempo 330
4.2-5 Convolução no Tempo e Convolução na Frequência 332
4.3 Solução de Equações Diferenciais e Integro-Diferenciais 335
4.3-1 Resposta de Estado Nulo 339
4.3-2 Estabilidade 344
4.3-3 Sistemas Inversos 346
4.4 Análise de Circuitos Elétricos: o Circuito Transformado 346
4.4-1 Análise de Circuitos Ativos 354
4.5 Diagramas de Blocos 357
4.6 Realização de Sistemas 360
4.6-1 Realização na Forma Direta I 360
4.6-2 Realização na Forma Direta II 361
4.6-3 Realizações em Cascata e Paralelo 364
4.6-4 Realização Transposta 367
4.6-5 Utilização de Amplificadores Operacionais para a Realização de Sistemas 369
4.7 Aplicação em Realimentação e Controle 374
4.7-1 Análise de um Sistema de Controle Simples 376
4.8 Resposta em Frequência de um Sistema LCIT 380
4.8-1 Resposta em Regime Permanente para Entradas Senoidais Causais 386
4.9 Diagramas de Bode 387
4.9-1 Constante Ka1a2/b1b3 388
4.9-2 Polo (ou Zero) na Origem 388
4.9-3 Polo (ou Zero) de Primeira Ordem 390
4.9-4 Polo (ou Zero) de Segunda Ordem 392
4.9-5 Função de Transferência da Resposta em Frequência 400
4.10 Projeto de Filtros pela Alocação de Polos e Zeros de H(s) 400
4.10-1 Dependência da Resposta em Frequência com os Polos e Zeros de H(s) 400
4.10-2 Filtros Passa-Baixas 403
4.10-3 Filtros Passa-Faixa 404
4.10-4 Filtros Notch (Rejeita-Faixa) 405
4.10-5 Filtros Práticos e Suas Especificações 407
4.11 Transformada de Laplace Bilateral 408
4.11-1 Propriedades da Transformada de Laplace Bilateral 414
4.11-2 Usando a Transformada Bilateral para a Análise de Sistemas Lineares 415
4.12 Resumo 417

Referências 418
MATLAB Seção 4: Filtros em Tempo Contínuo 419
Problemas 428

CAPÍTULO 5 ANÁLISE DE SISTEMAS EM TEMPO DISCRETO USANDO A TRANSFORMADA Z

5.1 A Transformada z 442
5.1-1 Determinação da Transformada Inversa 448
5.2 Algumas Propriedades da Transformada z 453
5.3 Solução de Equações Diferença Lineares pela Transformada z 460
5.3-1 Resposta de Estado Nulo de Sistemas LDIT: A Função de Transferência 464
5.3-2 Estabilidade 467
5.3-3 Sistemas Inversos 468
5.4 Realização de Sistemas 469
5.5 Resposta em Frequência de Sistemas em Tempo Discreto 474
5.5-1 Natureza Periódica da Resposta em Frequência 480
5.5-2 Aliasing e Taxa de Amostragem 483
5.6 Resposta em Frequência a Partir da Posição dos Polos-Zeros 485
5.7 Processamento Digital de Sinais Analógicos 493
5.8 Conexão entre a Transformada de Laplace e a Transformada z 499
5.9 A Transformada z Bilateral 501
5.9-1 Propriedades da Transformada z Bilateral 505
5.9-2 Utilização da Transformada z Bilateral para a Análise de Sistemas LDIT 506
5.10 Resumo 508

Referências 508
MATLAB Seção 5: Filtros IIR em Tempo Discreto 508
Problemas 516

CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO: A SÉRIE DE FOURIER

6.1 Representação de Sinais Periódicos pela Série Trigonométrica de Fourier 528
6.1-1 Espectro de Fourier 532
6.1-2 Efeito da Simetria 541
6.1-3 Determinação da Frequência e Período Fundamental 543
6.2 Existência e Convergência da Série de Fourier 545
6.2-1 Convergência de uma Série 546
6.2-2 Papel do Espectro de Amplitude e Fase na Forma da Onda 547
6.3 Série Exponencial de Fourier 553
6.3-1 Espectro Exponencial de Fourier 556
6.3-2 Teorema de Parseval 561
6.4 Resposta de Sistema LCIT a Entradas Periódicas 563
6.5 Série de Fourier Generalizada: Sinais como Vetores† 566
6.5-1 Componente de um Vetor 567
6.5-2 Comparação de Sinal e Componente de Sinal 568
6.5-3 Extensão para Sinais Complexos 570
6.5-4 Representação de Sinais por um Conjunto de Sinais Ortogonais 571
6.6 Determinação Numérica de Dn 582
6.7 Resumo 584

Referências 584
MATLAB Seção 6: Aplicações de Série de Fourier 585
Problemas 590

CAPÍTULO 7 ANÁLISE DE SINAIS NO TEMPO CONTÍNUO: A TRANSFORMADA DE FOURIER

7.1 Representação de Sinais não Periódicos pela Integral de Fourier 599
7.1-1 Avaliação Física da Transformada de Fourier 605
7.2 Transformadas de Algumas Funções Úteis 606
7.2-1 Conexão entre as Transformadas de Fourier e Laplace 615
7.3 Algumas Propriedades da Transformada de Fourier 616
7.4 Transmissão de Sinal Através de Sistemas LCIT 632
7.4-1 Distorção do Sinal Durante a Transmissão 633
7.4-2 Sistemas Passa-Faixa e Atraso de Grupo 636
7.5 Filtros Ideais e Práticos 639
7.6 Energia do Sinal 642
7.7 Aplicação em Comunicações: Modulação em Amplitude 644
7.7-1 Modulação em Faixa Lateral Dupla, Portadora Suprimida (DSB-SC)* 645
7.7-2 Modulação em Amplitude (AM) 649
7.7-3 Modulação em Faixa Lateral Simples (SSB) 652
7.7-4 Multiplexação por Divisão na Frequência 655
7.8 Truncagem de Dados: Funções de Janela 656
7.8-1 Usando Janelas no Projeto de Filtros 660
7.9 Resumo 662

Referências 663
MATLAB Seção 7: Tópicos sobre Transformada de Fourier 663
Problemas 668

CAPÍTULO 8 AMOSTRAGEM: A PONTE ENTRE CONTÍNUO E DISCRETO

8.1 Teorema da Amostragem 678
8.1-1 Amostragem Prática 682
8.2 Reconstrução do Sinal 685
8.2-1 Dificuldades Práticas na Reconstrução do Sinal 688
8.2-2 Algumas Aplicações do Teorema da Amostragem 695
8.3 Conversão Analógico para Digital (A/D) 697
8.4 Dual da Amostragem no Tempo: Amostragem Espectral 700
8.5 Cálculo Numérico da Transformada de Fourier: a Transformada Discreta de Fourier (TDF) 702
8.5-1 Algumas Propriedades da TDF 714
8.5-2 Algumas Aplicações da TDF 716
8.6 A Transformada Rápida de Fourier (FFT) 719
8.7 Resumo 723

Referências 723
MATLAB Seção 8: Transformada Discreta de Fourier 724
Problemas 730

CAPÍTULO 9 ANÁLISE DE FOURIER DE SINAIS EM TEMPO DISCRETO

9.1 Série de Fourier em Tempo Discreto (SFTD) 738
9.1-1 Representação de um Sinal Periódico pela Série de Fourier em Tempo Discreto 738
9.1-2 Espectro de Fourier de um Sinal Periódico x[n] 740
9.2 Representação de Sinal Não Periódico pela Integral de Fourier 747
9.2-1 Natureza do Espectro de Fourier 749
9.2-2 Conexão entre a TFTD e a Transformada z 757
9.3 Propriedades da TFTD 757
9.4 Análise de Sistema LIT em Tempo Discreto pela TFTD 766
9.4-1 Transmissão sem Distorção 768
9.4-2 Filtros Ideais e Práticos 769
9.5 Conexão da TFTD com a TFTC 771
9.5-1 Utilização da TDF e FFT para o Cálculo Numérico da TFTD 772
9.6 Generalização da TFTD para a Transformada z 773
9.7 Resumo 775

Referência 776
MATLAB Seção 9: Trabalhando com a SFTD e a TFTD 776
Problemas 783

CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO ESPAÇO DE ESTADOS

10.1 Introdução 792
10.2 Procedimento Sistemático para a Determinação das Equações de Estado 794
10.2-1 Circuitos Elétricos 794
10.2-2 Equações de Estado a partir da Função de Transferência 796
10.3 Solução de Equações de Estado 803
10.3-1 Solução pela Transformada de Laplace de Equações de Estado 803
10.3-2 Solução no Domínio do Tempo de Equações de Estado 809
10.4 Transformação Linear do Vetor de Estado 815
10.4-1 Diagonalização da Matriz A 818
10.5 Controlabilidade e Observabilidade 822
10.5-1 Incapacidade da Descrição por Função de Transferência de um Sistema 826
10.6 Análise por Espaço de Estados de Sistemas em Tempo Discreto 827
10.6-1 Solução no Espaço de Estados 828
10.6-2 Solução pela Transformada z 833
10.7 Resumo 834

Referências 835
MATLAB Seção 10: Toolboxes e Análise por Espaço de Estados 835
Problemas 841
ÍNDICE 847